LearnEasy: Understanding and Using of Logarithm

                  સામાન્ય રીતે આપણે લઘુગુણક કે લોગ ટેબલ(LogTable) નો ઉપયોગ કરવાની શરુઆત 9માં ધોરણ થી કરી હોય છે. પરંતુ ટેક્ષબુક ની અસ્ટમ પસ્ટમ ભાશા આપણને પલ્લે પડતી નથી.

Logarithm(લધુગુણક) પાછળ નો Actual Concept શું છે? સરળ ઉદાહરણ થી શરુઆત કરીએ..

લોગટેબલ પાછળ નુ સિમ્પ્લ લોજીક જો આપણે સમજવુ હોય તો રામાયણ ની એક ઘટનાથી સમજી સકાય છે. રામાયણ મા જે રીતે હનુમાનજી ને લંકામા ઘુસવા અને રાવણ ના સિપાહિ ઓથી બચવા નાનુ સ્વરુપ લઇ લે છે અને કદ ઘટાડી દે છે અને જરુર પડ્યે પાછુ અસલ પોતાનુ કદ ધારણ કરે છે.
કઇ ક એવીજ રીતે લોગટેબલ માં પણ મોટી સંખ્યાને અમુક પ્રમાણ(ratio) માં ઘટાડી નાની કરવામાં આવે છે. અને પછી તેની ઉપર જરુર મુજબ ગણતરીઓ(calculations) કરી પછી પાછો એનો એન્ટીલોગ(anti-log) શોધી મુળ સ્વરુપ માં લાવામાં આવે છે.

Logarithm શબ્દ નો મતલબ શુ થાય?
      logarithm શબ્દ નો સર્વ-પ્રથમ ઉપયોગ Scottish mathematician john Napier(1550-1617) દ્વરા કરવામા આવ્યો હતો. “LOGOS” એ ગ્રીક શ્બ્દ છે જેનો મતલબ થાય છે Proportion or Ratio અને “ARITHMOS” નો મતલબ થાય છે “NUMBER” આમ બન્ને શબ્દ ને ભેગા કરતા શબ્દ “RATIONUMBER” એવો થાય છે. એટલે કે સંખ્યાને(Number) અમુક પ્રમાણ(ratio) માં ઘટાડી પછી તેના પર પ્રક્રિયા કરી અને મુળ સ્વરુપ માં લાવવામા આવે છે અને જવાબ મેળવવાંમા આવે છે.
આમ ટુકમાં સમજીયે તો, મોટી સંખ્યાઓના (large numbers) ના ગુણાકાર(multiplication) , ભાગાકાર(division), વર્ગમુળ (square root) શોધવા એ અઘરૂ તેમજ સમય માગિલે તેવુ કામ છે∙આવિ ગણતરિઓ(calculations) ને સરળ બનાવવા માટે log table or લોગરિધમ (logarithms) નો ઉપયોગ થાય છે.

Logarithm ની Definition(વ્યાખ્યા)?
કોઇ પણ સંખ્યાનો લોગ એટલે......
  સંખ્યા ને ઘાત ના સ્વરુપ મા દર્શાવિએ તો(100 એટલે 10 ની 2 ઘાત થાય), તે સંખ્યાની ઘાત એ આપેલ સંખ્યા નો log છે(100 નો લોગ 2 થાય). અને આધાર એ log નો આધાર બની જશે(100 નો લોગ 2 થાય અને આધાર 10 થાય).

જો સંખ્યા c હોય અને તેને ઘાત ના સ્વરુપમા c=a ^b વડે દર્શાવીએ તો, Log_a(c) = b
અહી, c એ સંખ્યા છે જેનો Log શોધવાનો છે.
a આધાર છે અને એ Log નો આધાર બનશે.
b ઘાત છે અને એ આપણને જોઇતો Log છે. (એટલેકે હનુમાનજીએ નાનુ સ્વારૂપ ધારણ કરી લીધુ!!!)....

હવે થોડા ઉદાહરણ જોઇએ,

  1 નો log == > 1 = 10 ⁰ માટે 1 નો log એ 0 થશે અને આધાર 10 થશે.
10 નો log == > 10 = 10¹ માટે 10 નો log એ 1 થશે અને આધાર 10 થશે.
100 નો log === > 100 = 10² માટે 100 નો log એ 2 થશે અને આધાર 10 થશે.
1000 નો log === > 1000 = 10³ માટે 100 નો log એ 3 થશે અને આધાર 10 થશે.
8 નો log === > 8 = 2³ માટે 8 નો log એ 3 થશે અને આધાર 2 થશે.
25 નો log === > 25 = 5²માટે 25 નો log એ 2 થશે અને આધાર 5 થશે.

  કેટલાક દશાંશ ચિહ્ન વાળી સંખ્યા માટે ના ઉદાહરણ જોઇએ.

આમ લોગ(Log) નાં ઉપરના ઉદાહરણ જોઇને આપણે નીચેનુ સૂત્ર તારવી શકીયે(સામાન્ય બુદ્ધિ વાપરીને કાઇ રીસર્ચ કરવાની જરુર નથી....!!!),

જો a = b^x, તો log_b(a) = x જ્યા b એ log નો આધાર છે.

Logarithm ના Basic Rules જણાવો?

Logarithm ના Basic Rules સમજો.

1) Product law(ગુણાકાર નો નિયમ):કોઇ પણ બે સંખ્યાઓ જો ગુણાકાર (m Χ n) માં હોય અને આપણે તેનો Log લઈએ (Log(m Χ n)) તો તે બંન્ને સંખ્યાના Log નો સરવાળો(addition) થાય છે (Log m + Log n).

2) Quotient law(ભાગાકાર નો નિયમ): કોઇ પણ બે સંખ્યાઓ જો ભાગાકાર(quotient)

(m / n) માં હોય અને આપણે તેનો Log લઈએ(Log(m / n)) તો તે બંન્ને સંખ્યાના Log ની બાદબાકી(subtraction) થાય છે(Log m - Log n).

3) Power Law(ઘાત નો નિયમ): જો કોઇ સંખ્યા m નાં ઘાત(power) માં સંખ્યા p હોય , તો p સાથે m નાં Log નો ગુણાકાર(multiplication) થાય છે.

કોઇ પણ સંખ્યાનો Logarithm એ શુ છે.?
તેના કેટલા ભાગ હોય છે તથા તેની Value કઈ રીતે નક્કી થાય છે.?
કોઇ પણ સંખ્યાનો Logarithm સખ્યા કરતાં કઇ રીતે નાનો થઈ જાય છે એ અહી ધ્યાન થી જોજો.........

કોઇ પણ સંખ્યા ના logarithm ના બે ભાગ હોય છે.
1)Characteristics અને
2)Mantissa
ઉદા: Log(73.25) = 1.8648
લાલ(Red) ભાગ(1) એ characteristics છે.
વાદળી(blue) ભાગ(.8648) એ Mantissa છે.

1) Characteristics: logarithm નો આ ભાગ એ દશાંસ ચિહ્નની ડાબી બાજુ નો છે અને આ ભાગ સંખ્યાને
standard form માં ફેરવ્યા બાદ મળતી 10 ની ઘાત ના આધારે મેળવવામા આવે છે. અને આ ભાગ ની વેલ્યુ
Log Table માં જોઇ ને નક્કી કરવાંમાં આવતી નથી.   અને આ ભાગ Positive કે Negative હોઇ શકે છે.
એટલેજ તો જો characteristics ભાગ negative હોય તો ફક્ત તેને negative દર્શાવવાં માટે બાર
( ¯ ) symbol નો use થાય છે.

નોધ: standard form એટલે કે, દશાંશ ચિહ્ન નિ ડાબી બાજુ એકજ આંકડો (digit) રાખો અને જમણી બાજુ બાકીના આંકડા (digit) રાખો. આમ કરવા માટે સંખ્યા ને 10 ની યોગ્ય ઘાત વડે ગુણો. ઉદા: 256 નુ standard form ==> 2.56 × 10²

^{આપેલ સંખ્યાની characteristics નક્કી કરવી................}
^{i) જો આપેલ સંખ્યા 1 કરતાં મોટી હોય(number>1): તો સંખ્યાનો characteristics એ સંખ્યા ને standard form માં ફેરવ્યા બાદ જે 10 ની ઘાત આવે એ થશે અથવા}
^{આપેલ સંખ્યા માં દશાંસ ચિહ્ન ની ડાબી બાજુ જેટલા Digit હોય તેમાંથી એક બાદકરો એ હશે.}
નોધ: એક કરતાં મોટી સંખ્યાનો characteristics ભાગ હંમેશા positive હોય છે.
ઉદા: 7.325 નો characteristics ભાગ 0 થશે.
(1-1=0 or standard form 7.325 × 10⁰)
73.25 નો characteristics ભાગ 1 થશે.
(2-1=1 or standard form 7.325 × 10¹)
732.5 નો characteristics ભાગ 2 થશે.
(3-1=2 or standard form 7.325 × 10²)
7325 નો characteristics ભાગ 3 થશે.
(4-1=3 or standard form 7.325 × 10³)
^{ii)જો આપેલ સંખ્યા 1 કરતાં નાની હોય(number<1):} તો સંખ્યાનો characteristics એ સંખ્યા ને standard form માં ફેરવ્યા બાદ જે 10 ની ઘાત આવે એ થશે અથવા
આપેલ સંખ્યા માં દશાંસ ચિહ્ન ની જમણી બાજુ જેટલા zero (શૂન્ય) Digit હોય તેમાં એક ઉમેરો એ હશે.
નોધ: એક કરતાં નાની સંખ્યાનો characteristics ભાગ હંમેશા negative હોય છે.
ઉદા: 0.7325 નો characteristics ભાગ 1 થશે.
[ -(0+1)=-1 or standard form 7.325 × 10^{-1 ]}
0.07325 નો characteristics ભાગ 2 થશે.
[-(1+1)=-2 or standard form 7.325 × 10^-2
0.007325 નો characteristics ભાગ 3 થશે.
[-(2+1)=-3 or standard form 7.325 × 10^-3]
0.0007325 નો characteristics ભાગ 4 થશે.
(4-1=3 or standard form 7.325 × 10^-4)
^{નોધ: અહી ફક્ત characteristics ભાગ ને negative બતાવી શકાય એટલા માટે બાર symbol use કરેલ છે. Mantissa ભાગ હંમેશા positive હોય છે.}



2) Mantissa: દશાંશ ચિહ્ન નિ જમણી બાજુનો ભાગ કે જે દશાંશ સંખ્યા (decimal) દર્શાવે છે તેને
mantissa કહેવામા આવે છે.Mantissaની કિંમત Log Table માં જોઇ ને નક્કી કરવામાં આવે
છે.અને આ ભાગ હંમેશા positive જ હોય છે.
Mantissa ભાગ એ LogTable માં જોઇ નક્કી કરવામાં આવે છે. માટે Log Table વિશે થોડી Basic જાણકારી મેળવીએ. Mantissa જોવામાટે નુ Log Table મુખ્યત્વે ત્રણ ભાગમાં વહેચાયેલુ હોય છે.

i) સૌથી ડાબી બાજુની Column કે જે બે Digit નાં 10 થી 99 અંક ધરાવે છે.
ii) 0 થી 9 ના Header(મથાળુ) ધરાવતી કુલ 10 Column.
iii) 1 થી 9 ના Header(મથાળુ) ધરાવતી કુલ 9 Column કે જે Mean Difference દર્શાવે છે.
હવે Log Table માં Mantissa કઇ રીતે જોવાનો એ જોઇએ....
1) જો સંખ્યા ફ્ક્ત એકજ Digit ની હોય ....
ઉદા. 2 નો Mantissa એ 20 ના Mantissa બરાબર થશે.
3 નો Mantissa એ 30 ના Mantissa બરાબર થશે.
4 નો Mantissa એ 40 ના Mantissa બરાબર થશે.
...........etc..
2 નો Mantissa  = .3010
[સૌથી ડાબી બાજુ ની column માં 20 નંબરની raw અને 0 header વાળી Column જ્યા ભેગી થાય તે value ]

2) જો સંખ્યા બે Digit ની હોય ....
ઉદા.23 નો Mantissa   = .3617
[સૌથી ડાબી બાજુ ની column માં 23 નંબરની raw અને 0 header વાળી Column  જ્યા ભેગી થાય તે value  ]
3) જો સંખ્યા ત્રણ Digit ની હોય ....
ઉદા.234 નો Mantissa  = .3692
[સૌથી ડાબી બાજુ ની column માં 23 નંબરની raw અને 4 header વાળી Column  જ્યા ભેગી થાય તે value  ]
4) જો સંખ્યા ચાર Digit ની હોય ....
ઉદા. 2345 નો Mantissa  = .3701
[સૌથી ડાબી બાજુ ની column માં 23 નંબરની raw અને 4 header વાળી Column  જ્યા ભેગી થાય તે value(3692) + Mean Difference માં 5 Header વાળી Column ની value = .3701(3692+9)  ]

Characteristics અને Mantissa ભેગા કરો એટલે આપેલ સંખ્યાની Logarithm Value મળે.
કેટલાક ઉદાહરણ જોઇએ...
Log(5) = 0.6990 (0 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે  .6990 Mantissa ભાગ છે.)
Log(50) = 1.6990 (1 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે  .6990 Mantissa ભાગ છે.)

Log(500) = 2.6990 (2 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે .6990 Mantissa ભાગ છે.)

Log(57) = 1.7569 (1 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે .7569 Mantissa ભાગ છે.)
Log(576) = 2.7604 (2 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે .7604 Mantissa ભાગ છે.)

Log(5769) = 3.7611 (2 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે .7611 Mantissa ભાગ છે.)

Log(0.5) = 1.6990 (1 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે .6990 Mantissa ભાગ છે.)

Log(0.053) = 2.7243 (2 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે .7243 Mantissa ભાગ છે.)

Log(0.00536) = 3.7292 (3 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે .7292 Mantissa ભાગ છે.)

Log(0.0005368) = 4.7298 (4 એ Characteristics ભાગ છે જ્યારે .7298 Mantissa ભાગ છે.)

Logarithm ની મદદ થી હવે ગણતરીઓ કરીઓ.

1. 256 અને 768 નો log ની મદદ થી ગુણાકાર (multiplication) કરો.

STEPS:

1. દરેક આપેલા નંબર ને standard સ્વરુપ મા દર્શાવો.

2. આપેલ સંખ્યાઓ પર Logarithm નાં basic rules apply કરો.

3. Log Table માંથી Log જોવો અને જરુરી સરવાળા બાદબાકી કરો.

                         4. મળેલ સખ્યાનો Anti-log એ Log-Table માં જોઇ ને જવાબ મેળવો.
   Antilog એટલે શુ ?
જો Log 2345 = 3.3701 હોય તો Antilog of 3.3701 એ 2345 થશે. આમ Log અને Antilog એકબીજાના વિરુદ્ધ(inverse) છે.
જે રીતે Log ની Value એ Log Table માંથી મેળવવામાં આવે છે. તેજ રીતે Antilog ની Value એ Antilog Table માંથી મેળવામાં આવે છે. Difference ફક્ત એટલો છે કે Antilog Table માં સૌથી ડાબી બાજુની Column માં .00 થી .99  આંકડા હોય છે.
Antilog Table નો ઉપયોગ ફક્ત દશાંસ ચિહ્ન પછીની (decimal part) નો Antilog મેળવવાં માટે થાય છે.
આમ, Log ની મદદ થી નાનાં થઈ ગયેલ હનુમાનજી ને પાછા મુળ સ્વરૂપે લાવવાં માટે Antilog નો use થાય છે!!!.

Antilog Table માંથી 4 આંકડાનો નંબર મેળવ્યા પછી દશાંસ ચિહ્ન ક્યાં મુકવુ?
1) જો Log નો Characteristics (n) ભાગ positive હોય તો,
ડાબી બાજુથી (n+1) digit પછી દશાંસ ચિહ્ન(decimal point) મુકો.
ઉદા. Antilog 1.6078 = 40.53 (characteristics ભાગ= 1, માટે 1+1=2) Antilog 5.2936 = 196600 (characteristics ભાગ= 5, માટે 5+1=6)

2) જો Log નો Characteristics (n) ભાગ negative હોય તો,

First significant digit પેહલા (n-1) zero મુકો.
ઉદા. Antilog 2 .6078 = 0.04053 (characteristics ભાગ= 2, માટે 1-1=1)
Antilog 3 .1988 = 0.001581(characteristics ભાગ= 3, માટે 3-1=2)

2. 67846 અને 0.0839 નો ગુણાકાર લોગરીધમ ની મદદ થી કરો.